泡沫铝是具有功能结构一体化的多功能集成性泡沫金属材料^[1]。因其具有质量轻、强度高、比刚度高等良好的物理性能，使其可与金属面板复合制成三明治板材，被广泛应用于建筑、军工、交通等领域；其良好的声学性能^[2]使其可用于城市轻轨、高架公路、地下隧道等领域制造吸声器和声屏障^[3]；其强大的抗冲击、吸能与缓冲减震性能^[4]使其可以用作航空航天防护材料、车辆碰撞能量吸收材料等领域，此外泡沫铝材料在阻尼、隔热、导热^[5]、散热^[6]、热交换、电磁屏蔽防护^[7]等方面也具有十分显著的性能。

为反映泡沫铝材料内部结构并对其性能进行研究，正确构建与泡沫铝材料参数、计算机仿真模拟等工作相适配的三维数值模型就显得尤为重要。为此，学者们已开展了大量研究工作，并先后形成了认可度较高的Gibson-Ashby模型^[8]、八面体模型^[9]、十四面体模型^[10]、Voronoi仿真模型^[11]、三维随机球模型等^[12]。其中Gibson-Ashby模型以立方体框架结构对泡沫铝材料的孔结构进行构建，通过弹性模量与泡沫铝相对密度之间的关系来模拟材料的力学性能，广泛应用于泡沫铝材料弹塑性、蠕变、对流换热等方面的研究。八面体模型的孔结构是由八面体单元的密集堆积形成，在3个相互垂直的尺寸上对称分布。十四面体模型的孔结构是由6个四边形和8个六边形组成。Voronoi仿真模型是基于三维Voronoi结构生成，其在拓扑结构上与泡沫铝材料由生长产生的几何结构相同，但由于模型本身计算成本较高等限制，当前该模型仅在研究泡沫铝材料弹性特征方面有所应用。三维随机球模型具有模型尺寸、孔径、孔隙率、壁厚等参数可调节，对材料内部结构还原度高，材料性能表征好，模型运算成本低，与计算机仿真软件衔接效果好等优势，对泡沫铝模型的构建起到了极大的推动作用。王宇璞^[13]基于VB编程设计实现了三维随机球模型的建立，但并没有给出具体的实现过程。郝青显等^[14-15]给出了三维随机球模型建立的程序算法，但因其模型存在孔隙率上限值，在计算机仿真应用过程中也存在诸多问题。黄东梅^[16]提出了三维随机椭球模型，相较于规则的圆球模型，能够在实现模型较高孔隙率上有一定理论突破，但该模型规则度较弱，在有限元仿真模拟网格划分中，常出现应力奇异、边界条件设置复杂度高等问题，且模型自身运算成本高，生成难度大。虽然以上学者在泡沫铝建模方面已经取得了很大的进展，但在孔隙率、孔径优化方面还有待提升。本文基于Matlab下的Random函数，根据贪心算法及孔径无限迭代原理建立一种更优的泡沫铝三维随机球模型，解决了上述模型中存在的模型孔隙率上升困难、模型运算成本高等问题，通过对构建模型的二次导出，可实现与Ansys、Abaqus、Comsol等常用计算机软件的衔接。

1 模型构建步骤及随机模型

在三维随机球模型生成过程中，为了避免球体之间的交叉，需要对模型进行球心坐标和半径双重迭代，具体迭代生成球体过程如图1所示。

具体随机球生成的过程需要依次满足下列判断条件：

① 设定初始泡沫铝为等尺寸长方体致密块，模型体积V，对应长、宽、高分别为l、w、h，在满足下式限定条件下，使球体在致密块内部生成。

$ \qquad\begin{split}& {x}_{i}+{r}_{i}\leqslant l,{x}_{i}-{r}_{i}\geqslant 0 \\& {y}_{i}+{r}_{i}\leqslant w,{y}_{i}-{r}_{i}\geqslant 0 \\& {z}_{i}+{r}_{i}\leqslant h,{z}_{i}-{r}_{i}\geqslant 0 \end{split}$

(1)

式中：x_i、y_i和z_i代表第i次迭代生成的随机球的球心坐标；r_i代表第i次迭代生成的随机球的半径。

② 当第i次生成的球体满足限定条件，球与当前致密块内部任意球相离或外切。当前致密块内部任意球，球心坐标为（ $ {x}_{k} $ , $ {y}_{k} $ , $ {z}_{k} $ ）,k<i，半径为 $ {r}_{k} $ 。

$\qquad \sqrt{({{x}_{i}-{x}_{k})}^{2}+{({y}_{i}-{y}_{k})}^{2}+{({z}_{i}-{z}_{k})}^{2}}\geqslant {r}_{i} + {r}_{k} $

(2)

当上述两条件均满足后，生成球体；否则，保持球半径不变，重新随机生成球心坐标进行再次判定，循环上述过程。通常在不限定时间约束下，如果半径 $ {r}_{k} $ 不满足判断条件则会不断循环上述过程，在设定的长方体致密块中随机尝试所有未被占用的坐标点，直至满足判断条件后生成球体。但这样会导致计算成本高和模型生成时间长，甚至陷入无限循环。因此，本文采用贪心算法，在考虑随机球函数和泡沫铝特征基础上给定一个限定时间，若在该时间域内无法生成满足判定条件的球体，即陷入局部最优，则更新球体半径 $ {r}_{k} $ ，在新半径下开始一轮新的判定；若在限定时间内可生成球则生成新半径下的球体；若限定时间域内无法生成球体，则持续更新球体半径 $ {r}_{k} $ ，达到球体半径无限迭代的目的。

若设定生成球体时间超过限定时间T，则球体半径 $ {r}_{i} $ '更新为原来的q倍。

$ \qquad{\text{若}} {t}_{i} >T,\;{\text{则}} {r}_{i} {'}= q{r}_{i} $

(3)

式中：T和q值为变量，具体取值需根据计算机性能和泡沫铝材料参数选取，本文T取60 s，q取2/3。

满足预定模型孔隙率P时的球体总个数n和该孔隙率下的球体迭代半径最小值 $ {r}_{min} $ 可由下式求得：

$\qquad P=\dfrac{\dfrac{4}{3}\displaystyle\sum _{i=1}^{n}{\text{π}} {r}_{i}^{3}}{V} $

(4)

式中，球体总个数n与最小半径 $ {r}_{min} $ 是计算机仿真时网格划分最小网格尺寸和计算机运算量的计算成本预测的重要参数。

2 泡沫铝模型实现过程及优化 2.1 初步模型—无边界模型

模型构建前，先设定模型尺寸、球体直径、孔隙率、壁厚等相关参数，生成长方体致密块，在长方体致密块内部随机产生球心坐标，给球体直径设置一个波动范围值，使球体直径在该范围内随机取得，根据随机球心位置与球体直径生成球体，并保证生成球体与当前长方体致密块内部所有球体满足相离或外切的位置关系。按照这种方式，在长方体致密块内生成球体直至达到模型孔隙率的设定值。生成模型如图2所示。

通过上述方式构建不同模型参数下的泡沫铝模型，将建模结果整合分析。结果表明，在这种算法程序下，由于未对致密块边界加以限制，导致众多球体凸出，致使孔隙率的计算结果远小于测量值。考虑到凸出的球体形状不规则，如若对每个凸出球体加以计算将增大算法难度，需对模型进一步优化，通过改进球体的算法生成逻辑来降低算法复杂度，从而达到提升孔隙率的目的。

2.2 改进模型—有边界模型

在图2所示的初始模型中，长方体致密块边界存在部分球体（如图2中箭头所指）与边界面相交，与边界面相交的球体在致密块外部的体积，导致生成的泡沫铝模型孔隙率小于模型预设的孔隙率。为使模型孔隙率设定值与生成值一致，通过调整算法程序，添加球体生成过程中的边界条件限定，使生成的所有球体都在致密块内部，得到的模型如图3所示。同时，在后续进行计算机仿真研究时，为减少不规则球体对这个模型的影响，利用布尔运算取模型芯部，消除模型壁厚的影响。该模型虽然消除了溢出球体体积对孔隙率的影响，但对整体孔隙率的提高效果却不是很好。

2.3 最终模型—孔径迭代模型

针对初始模型孔隙率上限和改进模型中布尔运算取值的问题，从以下几个方面对模型进行优化。

2.3.1 取消孔隙率波动范围

为了解决孔隙率上限的问题，首先尝试通过扩大球体半径尺寸的波动范围来提高孔隙率，但生成的模型孔隙率仍难以突破50%。发现在泡沫铝三维模型构建中，球体半径波动范围对孔隙率的影响较小，且设定孔隙率波动范围会增加模型的生成时间与运算成本。因此，在后期模型构建中，取消模型孔隙率波动范围的设置。

2.3.2 优化孔径算法

通过贪心算法改变球体孔径生成的方式对模型进行优化，设定一个无限迭代条件，使孔径在该条件下变化，同时考虑模型生成的时间成本和计算机运算成本。

贪心算法总是做出在当前看来最好的选择，其算法本身并不从整体最优考虑，所做出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。该算法的优点为简单、高效，但也易陷入局部最优解的漩涡中，因此，本文为了解决这个问题采用如下两种方式。

①球体孔隙率增长率的影响

为了避免孔径无限迭代进入死循环，可通过设定泡沫铝模型孔隙增长率值来限定孔径迭代。当已生成球体的孔隙增长值达到限定值，则将欲生成的球体孔径更新为上一循环孔径的倍数值，不设孔径迭代下限值。但随着孔径值的不断更新，孔隙增长率也会逐渐趋缓，致使达到所设定增长率限定值用时延长，且孔隙率增长率的限定值难以合理界定。因此，通过限定孔隙增长率的方法难以得到较好的模型。

③ 限定球体生成时间

通过限定球体生成时间来限定孔径迭代。设定一个时间范围值（本文取值60 s），将球体生成时间与之比对，若超过限定范围值，则球体的孔径更新为原孔径的设定倍数值，不设孔径迭代的最小值。生成模型结果表明，通过限定时间可使模型孔隙率达到90%以上，且模型生成的时间成本与运算量合理，故采取这种建模方式较好。该模型生成球体过程如图4所示。在生成球4时，虽然点f、h的坐标满足位置关系式（2），但是在60 s内没有随机取到符合判断条件的点作为球心，此时，则会同步更新孔径和球心坐标，在矩形块内部生成其他球体，直至满足孔隙率要求，如图5所示。

在足够的空间内，前半部分球体生成较为简单，为了说明该迭代模型的构建过程，绘制无限迭代模型构建过程图，如图5所示。这种方式既可以有效降低时间成本，也可以达到提升孔隙率上限值的需求，且由于孔径迭代不设下限，理论上可以实现孔隙率无限大，即生成任意所需孔隙率值的泡沫铝模型。在开展具体研究时，为便于进行计算机仿真模拟降低计算成本，可以根据研究条件设置所需的孔径迭代下限值。

2.4 模型示例

通过上述步骤生成的泡沫铝模型孔隙率值在0.45～0.90之间，部分模型如图6所示。通过进一步将模型文件类型转换，可以将得到的三维模型输入到Ansys、NX-UG和Comsol等有限元模型中，以用于泡沫铝物理力学性能分析，如图7所示。

2.5 三维泡沫铝模型的拓展

生成的泡沫铝几何模型在有限元分析软件中通过布尔运算，可以得到指定参数条件下的泡沫铝夹层板模型、泡沫铝复合材料的制备^[17]等，以用于如汽车防撞梁、建筑材料、噪声屏障板等结构的计算机仿真模拟等相关研究工作。作者课题组应用闭孔泡沫铝材料良好的高温隔热、缓冲吸能等优良特性，将其应用于设计制备耐高温减震防穿刺工作鞋。为了得到工作鞋在不同工作环境下所适配泡沫铝材料参数，利用本文构建的模型进行热传导与力学的计算机模拟仿真，对泡沫铝材料的厚度、孔隙率、孔径等参数进行模拟分析。以此进行试验结果的预测与参数范围的缩小，大大减小了试验成本与工作量。应用本文模型设计的泡沫铝耐高温减震防穿刺工作鞋如图8所示。

3 结　论

（1）本文通过三维随机球模型和无限迭代原理，建立了一种可实现高孔隙率泡沫铝三维随机球模型的新方法。通过对无限迭代、孔隙率参数调整和泡沫铝模型自身特征的分析与优化，实现了泡沫铝孔隙率为50%～95%的三维数值模型。

（2）通过已生产泡沫型模型的格式转化，实现了模型与其他仿真软件的衔接。进一步将模型拓展应用于泡沫铝夹芯板、防撞梁和其他建筑物结构的数值仿真，可直观反映含泡沫铝材料的力学、吸热等性能，研究结果对推动泡沫铝材料的发展具有重要的意义。